Aplicatii ale metodei lui Newton

2.2.1.Consideram mai întâi cazul în care metoda lui Newton se aplica unei ecuatii reale sau complexe:

f(z) = 0. (1)

Aplicam metoda lui Newton, tinând cont de faptul ca marimile h si k sunt date de:

, unde z₀ este aproximatia initiala.

Existenta radacinii este garantata daca:

sau

Radacina se afla în discul:

(2) si este unica în discul:

. (3)

Metoda lui Newton se poate utiliza si pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice:

. (4)

Consideram sistemtl (4) ca o ecuatie P(x) = 0; în spatiul m-dimensional X: y = P(x), unde:

Fie aproximatia initiala. Substituind-o în ecuatia metodei lui Newton:

si tinând seama de expresia derivatei obtinem pentru corectia un sistem de ecuatii liniare:

(5)

Rezolvând sistemul, obtinem D x si deci x₁. În mod similar se gaseste x₂ s.a.m.d.

Daca folosim metoda simplificata, adica se pastreaza , atunci matricea sistemului (5) ramâne neschimbata la fiecare pas, schimbându-se doar membrii din dreapta.

Conditiile de convergenta depind de norma spatiului X. Consideram doua cazuri: si , unde

.

Teorema1

Fie functiile j ₁, j ₂, … , j _m si aproximatia initiala x₀ satisface conditiile:

1) ;

2) matricea Jacobi

; are determinantul D ¹ 0, iar minorii A_j,k corespunzatori elementelor satisfac estimarea: ;

3)

; ;

4)

.

Atunci, daca

, (6) sistemul (4) are în vecinatatea lui x₀ solutia catre care tind atât algoritmul de baza al lui Newton, cât si cel modificat.

 Observatii

1. Având în vedere faptul ca pentru avem , inegalitatea (6) este îndeplinita daca luam r = 2B¢ h ¢.

2. Consideram în (4), m = 2. Atunci

.

Daca este adevarata estimarea

putem lua drept B¢ marimea si conditia 4) devine:

sau .

Aceasta conditie a foest obtinuta de A. Ostrovski.

Daca folosim norma , ipotezele 1) - 4) ale teoremei 1 trebuie înlocuite cu:

1¢ )

;

2¢ ) , unde ; L este cea mai mare valoare proprie a matricii , iar pentru B¢ putem lua, de exemplu,

.

3¢ )

; deci putem lua ;

4¢ )

.

Exemplu

Fie sistemul de ecuatii neliniare:

Ca aproximatie initiala luam .

Calculam derivatele de ordinul întâi ale functiilor j ₁ si j ₂.

Sistemul pentru determinarea corectiilor va fi:

de unde obtinem :

De asemenea

.

Consideram norma din spatiul ; calculam constantele B¢,h ¢,L din teoreme1. Avem:

Estimam derivatele de ordinul al doilea ale functiilor j ₁ si j ₂ pentru , adica pentru 0,93 £ x ₁ £ 1,03 si 0,27 £ x ₂ £ 0,37.

Având în vedere ca:

putem lua: .

Pentru valorile date lui B¢, h ¢ si L avem:

.

Astfel teorema1 nu ne permite sa decidem despre convergenta algoritmului lui Newton. Aceasta se datoreaza estimarii foarte grosolane a lui . Am considerat : , în timp ce, de fapt, are loc estimarea mai precisa: .

Folosind estimarea de mai sus obtinem:

, ceea ce permite sa spunem ca algoritmul lui Newton este convergent.

Daca folosim direct teorema lui Newton putem gasi o valoare si mai mica pentru h.

si

.

Luând h =0,011 si k=7,2 obtinem:

.

Folosind algoritmul modificat, obtinem aproximatiile succesive:

Utilizând norma din spatiul , din conditiile 1¢ ) - 3¢ ) obtinem:

 2.2.2.Cazul când metoda lui Newton se aplica la rezolvarea ecuatiilor integrale nelinare.

Fie ecuatia integrala:

, (8) unde k(s,t,u) este o functie continua de argumentele sale, împreuna cu derivatele sale.

Definim în spatiul functional X operatorul P astfel:

y = P(x)

  (9) si punem ecuatia (8) sub forma unei ecuatii functionale P(x) = 0.

Algoritmul lui Newton pentru aceasta ecuatie se construieste astfel: fie x₀ aproximatia initiala; presupunem ca spatiul X si functia k(s,t,u) sunt astfel încât P¢ (x) se poate obtine astfel: si înseamna

; (10) iar corectia este definita prin ecuatia

, care în virtutea relatiei (10) va fi:

, (11) unde: este diferenta dintre membrul drept si cel stâng al ecuatiei (8) corespunzatoare aproximatiei initiale.

Pentru a gasi fiecare aproximatie succesiva trebuie rezolvata o ecuatie integrala liniara.

Teoremele generale ne permit sa examinam convergenta metodei lui Newton pentru diverse alegeri ale spatiului X. Astfel, daca X = C[0,1], are loc urmatoarea teorema:

 Teorema

Fie îndeplinite urmatoarele conditii:

1) ecuatia integrala (11) cu nucleul are nucleul rezolvent G(s,t) care satisface estimarea:

; (12)

2)

;

3)

în domeniul de valori ale variabilelor s si u definit de inegalitatile 0 £ s £ 1 si ;

4)

;

Atunci ambii algoritmi ai lui Newton converg catre x* (s), solutia ecuatiei (8). În plus, solutia se afla în domeniul:

si este unica în domeniul definit de:

si .

 Daca X=L²(0,1) putem indica alte conditii de rezolvabilitate a ecuatiei (8).

1¢ )

;

2¢ ) are loc inegalitatea : , n = 1, 2, … , unde l _n sunt numerele caracteristice ale nucleului , daca acesta este simetric. În cazul când k(s,t) nu este simetric, aceasta conditie devine mai complicata.

3¢ )

;

4¢ )

.

2.2.3.Vom considera o metoda destul de generala pentru construirea aproximatiei initiale. Ideea consta în înlocuirea ecuatiei (8) cu una având o structura mai simpla a carei rezolvare se reduce la rezolvarea unui sistem algebric.

Presupunem ca nucleul k(s,t,u) poate fi aproximat printr-un nucleu de forma mai simpla:

unde putem considera ca functiile w _k(s), k=1, 2, … , sunt ortonormate. Ca aproximant H putem lua o suma partiala din dezvoltarea functiei k dupa un sistem complet ortonormat de functii {w _k(s) } , k=1, 2, …

Consideram ecuatia:

, (13) care este o aproximatie pentru ecuatia (8).

Dar solutia ecuatiei (13) are forma:

,

unde A_k se determina din sistemul de ecuatii neliniare:

, j=1, 2, …, m (14)

Ca aproximatie initiala pentru ecuatia (8) luam functia x₀(t).

Consideram X = C[0,1] si ecuatia (8) sub forma:

, unde

Astfel putem enunta urmatoarea teorema:

Teorema3

Fie îndeplinite conditiile:

1) exista nucleul rezolvent al nucleului si

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

.

Atunci, daca

, ecuatia (8) are solutia x* si

. (15)

 Exemplu

Fie ecuatia:

Ca nucleu aproximant luam: .

Astfel ecuatia (13) are forma:

Solutia este de forma 1+At, unde A se determina rezolvând o ecuatie patratica.

Se rezolva ecuatia patratica:

Deci, A = 0,406. Astfel se pot calcula celelalte constante din teorema 3. Deci:

De unde:

si în virtutea ecuatiei (15): .

Considerând , obtinem:

, iar estimarea (15) are forma:

.

2.2.4.Cazul aplicarii metodei lui Newton la rezolvarea ecuatiilor diferentiale.

Fie ecuatia :

(16)

În spatiul C¹ de functii continuu diferentiabile pe [0,a] care se anuleaza pentru t = 0, definim norma:

  , unde l >0.

Presupunând functia j (u,t) continua si având derivata a doua în raport cu u continua în domeniul , consideram operatorul P:

.

P aplica bila , notata cu W, în spatiul C[0,1] si are în W derivata întâi si a doua continue. Expresiile acestora sunt:

(17)

(18)

Dorim sa gasim .

Conform relatiei (17) elementul x = G ₀(y) este solutia ecuatiei diferentiale:

(19) adica:

, unde

.

De aici,

, iar din ecuatia (19) obtinem:

Astfel,

, astfel încât .

 Teorema 4

Fie îndeplinite conditiile:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

Atunci, daca

, ecuatia (16) are în intervalul [0,a] solutia unica x* (t), iar

.

 Dem.:

Pentru verificarea ipotezelor teoremei lui Newton este suficient sa aratam ca:

astfel încât în teorema mentionata putem lua: .

Putem lua . Astfel, conditia de rezolubilitate a ecuatiei (16) se scrie sub forma:

(20)

Deoarece , conform conditiei 4) putem alege l suficient de mic astfel încât sa fie satisfacuta relatia (20).

 Obs.

Metoda folosita se poate aplica si pentru studiul sistemelor de ecuatii diferentiale. Dificultatea aplicarii în acest caz rezida de regula în imposibilitatea de a obtine în forma analitica solutia sistemului liniar si, deci, de a estima norma operatorului G ₀.

2.2.5. Fie ecuatia dierentiala:

(21)

Functia este continua împreuna cu derivatele sale în raport cu u si v pâna la ordinul al doilea si periodica în raport cu t, adica perioada w > 0.

Aplicând rationamente similare cu cele de la 2.2.1. vom mentiona conditiile în care ecuatia (21) admite o solutie cu perioada w, adica solutia conditiile la limita:

(22)

Fie spatiul al functiilor periodice (cu perioada w) si de doua ori continuu diferentiabile. Definim norma în prin:

.

Operatorii p si R sunt dati de:

,

, .

Cu aceste definitii ecuatia (21) devine:

(23)

Trecem la estimarile necesare. Operatorul p este, evident, liniar si continuu astfel încât solutia ecuatiei p (x) = 0 va fi x₀ = 0. Daca cos w ¹ 1, atunci operatorul G ₀ = p ^-1 .

Acest operator poate fi gasit rezolvând ecuatia diferentiala:

, cu conditiile la limita (22).

Dupa calculare obtinem urmatoarea estimare pentru norma operatorului G₀:

, unde q este o expresie care depinde de w.

Astfel, putem lua:

.

Tinând cont de faptul ca:

putem enunta urmatoarea teorema:

 Teorema5

Fie îndeplinite conditiile:

1)

, n = 1, 2, … ;

2)

;

3)

; ;

4)

; ; .

2.2.6.Fie ecuatia cu derivate partiale cvasiliniara de ordinul doi cu doua variabile independente:

, (25) unde A, B, C, D sunt functii de s, t, u, si .

Cautam solutia ecuatiei (25) în domeniul Q satisfacând o anumita conditie la limita pe curba g - frontiera domeniului Q.

Presupunem ca ecuatia (25) este de tip eliptic, mai precis, consideram ca pentru toate variabilele posibile ale variabilelor:

. (26)

Pentru a putea aplica metoda lui Newton ecuatiei (25) o vom scrie în forma:

(27) unde P aplica spatiul functional U în spatiul functional V.

Fie F = F(s, t, u, p, q) o functie oarecare. Notam cu F₀ functia obtinuta substituind în F în locul functiei u si a derivatelor sale: u₀ si

Obtinem relatia (28):

Operatorul liniar este eliptic si fiecare pas al metodei lui Newton pentru ecuatia (27) se reduce la rezolvarea ecuatiei liniare de tip eliptic:

(29)

În cazul metodei modificate avem ecuatia eliptica liniara:

(30)

Derivata a doua a operatorului P¢ este necesara pentru studiul convergentei metodei lui Newton . este o forma biliniara în x,y si derivatele acestora pâna la ordinul al doilea inclusiv au coeficienti care depind de u . În forma biliniara nu sunt prezenti termeni continând produse ale derivatelor de ordinul al doilea ale lui x cu cele ale lui y.

Fie, acum, spatiile U si V si impunem urmatoarele conditii:

1) Operatorul P aplica spatiul U în spatiul V;

2) Operatorul P este de doua ori diferentiabil;

3) Pentru orice u Î W Í U, coeficientii F_k ai formei biliniare sunt operatori liniari si continui din V în V, iar

(31)

Daca x Î U, functiile , a, b = 0,1; a + b £ 1 sunt operatori liniari si continui din V în V si

(32)

4) Operatorii care pun în corespondenta functiei x Î U, derivatele , a, b = 0, 1, 2; a + b £ 2 sunt operatori liniari si continui din U în V;

5) Operatorul are inversul continuu care aplica spatiul V în spatiul U.

Def.

Aceste spatii U si V care satisfac cele 5 conditii de mai sus se numesc spatii adecvate.

Conditiile 3) – 4) asigura marginirea uniforma a lui .

Fie, de exemplu, un termen de forma .

Folosind relatiile (31) si (32) obtinem:

.

 Exemple de perechi de spatii adecvate:

Fie ecuatia:

, (33) unde:

Studiem problema lui Neumann pentru ecuatia (33):

(34) pe frontiera patratului Q = [0, p; 0, p ].

Functia H este presupusa continua si marginita împreuna cu derivatele sale.

Conform formulei lui Green, obtinem:

(35)

De aceea, functia j trebuie sa satisfaca conditia .

Fie perechea de spatii si , unde are ca elemente functiile u Î care satisfac conditia (34) si

(36)

Spatiul are ca elemente functiile v Î , care satisfac

(37)

 Normam spatiile prin:

Considerând ca W este o bila de raza suficient de mare, verificam ca perechea de spatii U si V este adecvata.

Conform teoremelor de scufundare ale lui Sobolev, derivatele de ordinul doi ale functiei u Î U apartin spatiului L^p, " p > 0.

În particular,

(38)

Functia u si derivatele ei de ordinul întâi, p si q, sunt marginite.

Examinam un termen din expresia lui :

Al doilea termen este finit în virtutea inegalitatii (38). Astfel, P(u) Î V.

Fie, acum, functia F – unul din coeficientii formei biliniare . F fiind o derivata partiala a functiei H este continua si marginita.

Pentru v Î V avem:

(39)

Conform teoremei de scufundare este integrabila pentru orice p, în particular:

  .

Cu aceasta inegalitate estimam termenii integralei din ultimul rând al relatiei (39). De exemplu:

Operatorul considerat este liniar si continuu din V în V si inegalitatea (31) este valabila. A doua parte a conditiei 3) decurge din marginirea functiei u Î U si a derivatelor sale p si q.

Conditia 4) este satisfacuta în mod evident.

Pentru conditia 5) este suficient sa aratam ca laplacianul are invers continuu.

Fie ecuatia:

(40)

Dezvoltam membrul drept într-o serie Fourier de cosinusuri:

.

Conform relatiei (37) a₀₀ = 0. Solutia unica a ecuatiei (40), care satisface conditia pe frontiera (34) este:

.

Verificam daca u Î U. Este adevarat, deoarece derivatele functiei v sunt de patrat integrabil, adica:

.

De aici este evidenta convergenta în medie a seriilor care definesc derivatele de ordinul al treilea ale functiei u. De exemplu,

si

Prin urmare u Î U si , deci operatorul exista.

Din cele de mai sus decurge aplicabilitatea teoremelor despre convergenta metodei lui Newton.

Alte exemple:

1)Pentru problema lui Dirichlet putel lua si V = L^p.

2) format din functiile continuu diferentiabile ale caror derivate de ordinul al doilea satisfac conditia lui Lipschitz cu exponentul a si V= Lipa.

2.3 MATHCAD

 Rezolvarea ecuatiilor si sistemelor neliniare se poate face si cu ajutorul limbajului MathCad .

Pentru rezolvarea unei ecuatii algebrice se foloseste functia root. Aproximatia initiala trebuie furnizata în prealabil.

Pentru rezolvarea ecuatiei f(x) = 0 cu aproximatia initiala x = a, programul MathCad este:

x := a;

f(x) := expresia de calcul pentru f

y := root(f(x),x)

y =

Exemplu

Pentru rezolvarea sistemelor de n ecuatii neliniare cu n necunoscute, cu ajutorul functiilor find sau minerr se poate obtine o solutie pornind de la o aproximatie initiala.

Programul pentru rezolvarea sistemului este:

x := a

y := b

f(x,y) := expresia de calcul a lui f

g(x,y) := expresia de calcul a lui g

 Given

 f(x,y) ~ 0

g(x,y) ~ 0

 sau

 Exemplu

Pentru rezolvarea ecuatiilor integrale Fredholm de speta a doua programul este

: